Operazioni con i radicali

Operazioni con i radicali

Osserviamo dunque le varie operazioni con i Radicali. 

Prima operazione.

Due radicali si diranno equivalenti se hanno lo stesso valore:

Se io calcolo la radice quadrata di quattro otterro’ 2 perche’ due elevato al quadrato mi da’ 4
4 = 2    =>    22 = 4
Se ora calcolo la radice quarta di 16 otterro’ ancora 2 perche’ 2 elevato alla quarta mi da’ 16
16 = 2    =>    24 = 16
ma se i due radicali hanno lo stesso valore sono equivalenti e deve esistere una regola che mi permetta di passare dal primo radicale al secondo e viceversa ed io devo trovare questa regola

Se scrivo i radicandi scomposti in fattori confrontando i due radicali ottengo:
 22 = 24
e se osservi bene puoi ottenere il secondo radicale dal primo moltiplicando sia l’indice di radice che l’esponente del radicando per due (e questa sara’ la regola cercata)

Regola: due radicali si dicono equivalenti quando posso trasformarli l’uno nell’altro moltiplicando o dividendo sia l’indice di radice che l’esponente del radicando per uno stesso numero


at s = at

 Seconda Operazione.
Somma e Differenza.
Per somma intendiamo la somma algebrica cioe’ sia la somma che la differenza.
Per capire come eseguire la somma fra radicali ripensiamo alla somma fra monomi:

Regola: per eseguire la somma fra termini con radicali devo cercare i termini simili (con radicali uguali) e poi sommarne i coefficienti numerici (i termini fuori del radicale)

Terza operazione. 

Per la terza operazione distingueremo due casi. 
Il primo:
                                   Prodotto di due radicali con indice uguale

regola: per moltiplicare fra loro due termini con radicali con lo stesso indice si devono moltiplicare fra loro i coefficienti e tra loro i radicandi mentre la radice resta invariata

Vediamo un altro semplice esempio:
a(a + b) · 3(a – b) =
= 3a(a + b)(a – b)=
= 3a(a 2 – b 2)

E il secondo:
Prodotto fra radicali con indice diverso

Per eseguire il prodotto fra radicali con indice diverso cerchiamo di ricondurci al prodotto fra radicali dello stesso indice, perche’ era molto facile; quindi dovremo trasformare i radicali in modo da farli diventare con lo stesso indice poi faremo come prima
Per fare questo useremo la regola di equivalenza:
a ·b2
il minimo comune multiplo fra 3 e 4 e’ 12 quindi devo trasformare i due radicali in modo che abbiano indice 12 moltiplicando sia l’indice di radice che l’esponente del radicando per uno stesso numero
a = a4 ho moltiplicato per 4
b2 = b6 ho moltiplicato per 3

quindi:
a ·b2 = a4 ·b6 = a4b6

Regola: per moltiplicare fra loro due radicali con indice diverso prima li trasformo in radicali con lo stesso indice poi procedo come prima

Quarta operazione.

Quoziente fra radicali
come per il prodotto distinguiamo due casi:
se i radicali hanno lo stesso indice;
se i radicali non hanno lo stesso indice.

Se i radicali hanno lo stesso indice
in questo caso basta fare il radicale del quoziente dei termini dentro radice
Se i radicali non hanno lo stesso indice
prima si riducono allo stesso indice poi si procede come prima
 

Quinta operazione.

elevamento a potenza di radicali
Per elevare a porenza una radice basta elevare a potenza il radicando
(3 )4 = 3 4

Qualche difficolta’ si puo’ avere quando si deve fare una potenza di un polinomio con radicali, in tal caso occorre avere ben presenti le regole dei prodotti notevoli
esempio:

(3 + 23)2 =
E’ il quadrato di un binomio

  • quadrato del primo termine:
    32 = 9
  • doppio prodotto del primo termine per il secondo:
    2·3·23 = 123
  • quadrato del secondo termine
    (23)2 = 2232 = 49 = 4·3 =12

quindi:
(3 + 23)2 = 9 + 123 + 12 = 21 + 123

Sesta operazione.

Portar fuori radice

E’ un’operazione tipica dei radicali:
Posso farla quando l’indice del radicando e’ superiore all’indice della radice
a13 =
per le proprieta’ inverse delle potenze posso pensare a13 come a10·a3
In questo modo la prima potenza sara’ un multiplo dell’indice di radice
= a10·a3 =
Ora spezzo la radice in due parti in modo che la prima potenza sia da sola dentro la radice (posso farlo per come ho definito il prodotto fra radicali)
= a10·a3 = 
Per la regola di equivalenza posso semplificare l’indice di radice e l’esponente del radicando nel primo radicale
divido per 5
a10 = a2 = a2
quindi il risultato e’
= a2a3
– / 5
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