Massimo Comune Divisore
Massimo Comune Divisore
Perché calcolare il Massimo Comune Divisore (M.C.D.)?
Il calcolo del M.C.D. diventa di fondamentale importanza nella scomposizione dei polinomi: non si può infatti trovare un fattore comune tra più numeri senza calcolare il massimo comune divisore. Ma chi è il MCD tra due, tre o mille numeri? La risposta è nel nome stesso!
Innanzitutto è un divisore comune, nel senso che esso divide tutti i numeri che stiamo considerando (per questo è comune divisore); in secondo luogo è massimo, cioè tra tutti i divisori comuni dei numeri che stiamo considerando (ricordiamo che c’è sempre almeno 1 come divisore comune) esso è il più grande. Come si può scrivere tutto ciò in formule? Cominciamo dapprima con una notazione: a | b significa “a divide b“, ovvero significa che il resto della divisione a : b è zero. Siano dati dunque enne numeri interi. Diremo che
La proprietà 1 dice che d divide tutti i numeri che stiamo considerando (comune divisore); la 2 dice che ogni altro numero che divide tutti i numeri in gioco è più piccolo di d oppure è d stesso (proprietà di massimo).
Come si calcola il Massimo Comune Divisore – M.C.D.?
passo 1.: scomporre tutti i numeri in fattori primi;
passo 2.: considerare soltanto i fattori COMUNI con l’esponente più PICCOLO e farne il prodotto!
Es: M.C.D. (12, 30, 24)
12=3*2^2;
30=2*3*5;
24=3*2^3;
Quindi il M.C.D. è 2*3=6. Osserviamo che 5 non è un fattore comune e quindi va scartato (cinque infatti non divide 12 né 24 e quindi nessun numero che ammette 5 tra i suoi fattori può dividere 6 e/o 24) e lo stesso vale per ogni altra potenza di 2: se consideriamo 2^2 ad esempio, 4 non divide 30 (e quindi nessun numero che ammette 4 tra i suoi fattori può dividere 30).
Da ricordare sempre:
- 1 è sempre un fattore comune!
- il M.C.D. tra due o più numeri è al più grande quanto il più piccolo dei numeri considerati; in caso contrario c’è qualcosa di sbagliato nei calcoli.
