Cos’è un polinomio?
Cos’è un polinomio?
Cos’è un polinomio?
Un polinomio non è altro che la combinazione di più monomi mediante somma e prodotto. In particolare, si parla di polinomio quando vi è almeno la somma di due monomi non simili che, pertanto, non possono essere sommati tra loro. (es.: x + y è un polinomio). Dunque, per cominciare, non è possibile parlare di una vera e propria “somma” tra due o più polinomi: possono sommarsi soltanto i monomi simili che li compongono, il risultato quindi resta un polinomio o un monomio o una costante. Il prodotto tra due polinomi invece si esegue molto semplicemente facendo il prodotto termine per termine dei singoli monomi, ricordando che un eventuale segno meno appartiene sempre al monomio che lo segue. Esempio:
(x+y)⋅(2x+3z-2) = 2x²+3zx-2x+2xy+3zy-2y
È possibile guardare il prodotto nel modo seguente:
(x+y)⋅(2x+3z-2)=x⋅(2x+3z-2)+y⋅(2x+3z-2) = … e il risultato finale è ovviamente lo stesso.
Molto importanti sono il concetto di grado ed il concetto di radice di un polinomio.
Come per i monomi, è possibile calcolare il grado rispetto a tutte le variabili o rispetto ad una sola: nel primo caso il grado (del polinomio) risulta essere il massimo tra i gradi dei monomi che lo compongono (x+xy ha grado due per esempio); nel secondo caso invece si guarda l’esponente massimo della variabile a cui si fa riferimento (x+xy ha grado 1 sia rispetto ad x che rispetto ad y).
Per quanto riguarda la radice, focalizziamo l’attenzione su polinomi ad una incognita (che chiamiamo in generale P(x)). Un numero (reale) c si dice radice del polinomio P(x) se e soltanto se P(c) = 0, ovvero se e soltanto se, sostituendo c ad ogni occorrenza della variabile x, si ha come risultato zero. Esempio:
x³+2x²+9 ammette come radice -2; infatti:
(-2)³+2⋅(-2)²+9=-27+2⋅9+9=-27+18+9=0
- un polinomio a valori reali ammette come numero massimo di radici il valore del suo grado;
- un polinomio di grado dispari ammette almeno una soluzione reale, cosa non vera invece per i polinomi di grado pari (2x²+9 non ha radici ad esempio).
Parleremo in altra sede di prodotti notevoli, scomposizioni e calcolo delle radici.
